每日一题[2451]联想公式

设函数数列 $f_1(x)=\dfrac{x\cos\theta-\sin\theta}{x\sin\theta+\cos\theta}$，$f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$，$n\in\mathbb N$，$\theta$ 为常数，则 $f_{2021}(x)=$_______．

答案    $\dfrac{x\cos 2021\theta-\sin 2021\theta}{x\sin 2021\theta+\cos 2021\theta}$．

解析    根据题意，有

$$f_1(x)=\dfrac{x-\tan \theta}{1+x\tan\theta}=\tan(\arctan x-\theta),$$ 于是 $$f_n(x)=tan(\arctan x-n\theta)=\dfrac{x\cos n\theta-\sin n\theta}{x\sin n\theta+\cos n\theta}.$$