每日一题[2448]轮换分解

已知 $a, b, c$ 为实数，且 $a+b c=b+a c=c+b a=1$，则（       ）

A．$a=b=c$

B．$a, b, c$ 不全相等

C．$(a, b, c)$ 有 $2$ 组

D．$(a, b, c)$ 有 $5$ 组

答案    D．

解析    根据题意，有

$$a+bc=b+ac\iff (a-b)(1-c)=0,$$ 类似的，有 $$(b-c)(1-a)=(c-a)(1-b)=0.$$

情形一     $a=b=c$．此时

$$a+a^2=1\iff a=\dfrac{-1\pm\sqrt 2}2,$$ 得到 $2$ 组解．

情形二    $a,b,c$ 不全相等．此时 $a,b,c$ 中至少有一个 $1$，进而得到 $3$ 组解 $(1,1,0)_{\rm cyc}$．

综上所述 $(a,b,c)$ 有 $5$ 组．