每日一题[2447]左右夹逼

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\sqrt{\dfrac{2 n-1}{4 n^{2}+1}}$,前 $n$ 项和为 $S_{n}$,与 $S_{128}-S_{32}$ 最接近的整数是(       )

A.$6$

B.$7$

C.$8$

D.$9$

答案    C.

解析    根据题意,有\[\sqrt{2n+4}-\sqrt{2n+2}<\dfrac{1}{\sqrt{2n+2}}<\sqrt{\dfrac{2n-1}{4n^2+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}<\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1},\]从而\[\sum_{n=33}^{128}\left(\sqrt{2n+4}-\sqrt{2n+2}\right)<S_{128}-S_{32}<\sum_{n=33}^{128}\left(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\right),\]即\[\sqrt{260}-\sqrt{68}<S_{128}-S_{32}<\sqrt{257}-\sqrt{65},\]进而\[7.8<16.1-8.3<S_{128}-S_{32}<16-8=8,\]因此与 $S_{128}-S_{32}$ 最接近的整数为 $8$.

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