每日一题[2442]斜率积性质

已知双曲线 $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ ，左右顶点为 $A, B$ ，点 $P$ 为双曲线右支上一点，设 $\angle P A B=\alpha$ ， $\angle P B A=\beta$ ， $\angle A P B=\gamma$ ，则（）

A． $\tan \alpha+\tan \beta+\tan \gamma=0$

B． $\tan \alpha+\tan \beta-\tan \gamma=0$

C． $\tan \alpha+\tan \beta+2 \tan \gamma=0$

D． $\tan \alpha+\tan \beta-2 \tan \gamma=0$

答案 D．

解析设 $P(x_0,y_0)$ （ $x_0>0$ ），则 $x_0^2-y_0^2=a^2$ ，从而

\tan α \tan β = \frac{y_{0}}{x_{0} + a} \cdot (- \frac{y_{0}}{x_{0} - a}) = - 1,

$\tan\alpha\tan\beta=\dfrac{y_0}{x_0+a}\cdot\left(-\dfrac{y_0}{x_0-a}\right)=-1,$ 从而

\tan γ = - \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} = \frac{1}{2} (\tan α + \tan β),

$\tan\gamma=-\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\dfrac 12(\tan\alpha+\tan\beta),$ 从而

\tan α + \tan β - 2 \tan γ = 0.

$\tan \alpha+\tan \beta-2 \tan \gamma=0.$

此条目发表在每日一题分类目录，贴了解析几何标签。将固定链接加入收藏夹。