每日一题[2438]引入参数

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2$，$a_{n+1}=2^{a_{n}}$．数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 滿足 $b_{1}=5$，$b_{n+1}=5^{b_{n}}$．若正整数 $m$ 满足 $b_{m}>a_{25}$，则 $m$ 的最小值为（       ）

A．$23$

B．$24$

C．$25$

D．以上答案都不对

答案    B．

解析    引入参数 $\alpha,k$，尝试证明

$$b_n>\alpha\cdot a_{n+k},$$ 该不等式若能递推证明，需要 $$b_{n+1}>\alpha\cdot a_{n+k+1}\impliedby 5^{b_n}>\alpha\cdot 2^{a_{n+k}}\impliedby \alpha\cdot a_{n+k}\cdot \ln 5>\ln \alpha+a_{n+k}\ln 2,$$ 也即 $$(\alpha\ln 5-\ln 2)a_{n+k}>\ln \alpha,$$ 取 $\alpha=1$，则递推证明成立，此时递推起点可以选择 $k=1$ 时取 $n=1$，有 $$b_1=5>4=a_2,$$ 这样就得到了 $b_{24}>a_{25}$．

类似的，引入参数 $\beta,p$，尝试证明

$$b_n<\beta\cdot a_{n+p},$$ 该不等式若能递推证明，需要 $$b_{n+1}<\beta\cdot a_{n+p+1}\impliedby 5^{b_n}<\beta\cdot 2^{a_{n+p}}\impliedby \beta\cdot a_{n+p}\cdot \ln 5<\ln \beta+a_{n+p}\ln 2,$$ 也即 $$(\ln 2-\beta\ln 5)a_{n+k}>-\ln \beta,$$ 取 $\beta=\dfrac 13$，则递推证明成立，此时递推起点可以选择 $k=2$ 时取 $n=1$，有 $$b_1=5<\dfrac 13\cdot 16=\dfrac 13a_3,$$ 这样就得到了 $b_{23}<\dfrac 13a_{25}$．

综上所述，$m$ 的最小值为 $24$．