每日一题[2437]连环套

设正整数 $m, n$ 均不大于 $2021$，且 $\dfrac{m}{n+1}<\sqrt{2}<\dfrac{m+1}{n}$，则这样的数组 $(m, n)$ 个数为（       ）

A．$2021$

B．$1428$

C．$3449$

D．以上答案都不对

答案    C．

解析    题中不等式即

$$\sqrt 2n-1<m<\sqrt 2n+\sqrt 2,$$ 记 $D_n=\left(\sqrt 2n-1,\sqrt 2n+\sqrt 2\right)$，注意到区间 $D_n$ 的长度为 $\sqrt 2+1$，而相邻区间的间距为 $\sqrt 2$，满足 $$\sqrt 2<\sqrt 2+1<2\sqrt 2,$$ 因此任何两个相邻的区间都有交集 $E_n=\left(\sqrt 2n+\sqrt 2-1,\sqrt 2n+\sqrt 2\right)$．记 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{2021}D_n=D$，$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{2021}E_n=E$，则当 $m\in D\setminus E$ 时，$m$ 对应唯一的 $n$；当 $m\in E$ 时，$m$ 对应两个 $n$．而 $$\sqrt 2\cdot 1430-1>2021>\sqrt 2\cdot 1429-1,$$ 因此有 $1428$ 个 $m$ 落在 $E$ 中，剩下的 $2021-1428=593$ 个 $m$ 落在 $D\setminus E$ 中，所求数组 $(m,n)$ 的个数为 $$1428\cdot 2+593=3449.$$