已知实数 x0∈[0,1).数列 {xn} 满足对任意的 n∈N∗,有xn={2xn−1,xn−1<12,2xn−1−1,xn−1⩾现知 x_{0}=x_{2021},则可能的 x_{0} 的个数为( )
A.2021
B.2^{2021}-1
C.2^{2021}
D.以上答案都不对
答案 B.
解析 考虑函数 f(x)=\begin{cases} 2x,&x<\dfrac 12,\\ 2x-1,&x\geqslant \dfrac 12\end{cases} 的迭代函数 f_n(x) 的图象与直线 y=x 的公共点,则所求 x_0 的个数即 f_{2021}(x) 的图象与直线 y=x 的公共点个数.
递推可得所求个数为 2^{2021}-1.
备注 函数 f(x) 在二进制下可以解释为每次删除一个二进制小数的小数点后一位,如 \dfrac14\to \dfrac 12\to 0 的过程即0.01\to 0.1\to 0.0.因此若 x_0=x_{2021},则说明 x_0 是循环节长度为 2021 的二进制小数,有 2^{2021}-1 个.