每日一题[2431]数与形

已知实数 x0[0,1).数列 {xn} 满足对任意的 nN,有xn={2xn1,xn1<12,2xn11,xn1现知 x_{0}=x_{2021},则可能的 x_{0} 的个数为(       )

A.2021

B.2^{2021}-1

C.2^{2021}

D.以上答案都不对

答案   B.

解析    考虑函数 f(x)=\begin{cases} 2x,&x<\dfrac 12,\\ 2x-1,&x\geqslant \dfrac 12\end{cases} 的迭代函数 f_n(x) 的图象与直线 y=x 的公共点,则所求 x_0 的个数即 f_{2021}(x) 的图象与直线 y=x 的公共点个数.

递推可得所求个数为 2^{2021}-1

备注    函数 f(x) 在二进制下可以解释为每次删除一个二进制小数的小数点后一位,如 \dfrac14\to \dfrac 12\to 0 的过程即0.01\to 0.1\to 0.0.因此若 x_0=x_{2021},则说明 x_0 是循环节长度为 2021 的二进制小数,有 2^{2021}-1 个.

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