每日一题[2427]构造

方程 $x^{3}+y^{4}=z^{5}$ 的正整数解 $(x, y, z)$ 的组数为（       ）

A．$0$

B．$2$

C．无穷多

D．以上答案都不对

答案    C．

解析    尝试 $(x^3,y^4,z^5)=\left(2^n,2^n,2^{n+1}\right)$，即 $(x,y,z)=\left(2^{n/3},2^{n/4},2^{(n-1)/5}\right)$，只需要

$$\begin{cases} n\equiv 0\pmod 3,\\ n\equiv 0\pmod 4,\\ n\equiv 4\pmod 5,\end{cases}\iff n\equiv 24\pmod{60},$$ 因此对应的 $$(x,y,z)=\left(2^{20k+8},2^{15k+6},2^{12k+5}\right),k\in\mathbb N,$$ 因此所求正整数解有无穷多组．