每日一题[2426]柯西不等式

已知 α,β(0,π2),求 2sin4α+3cos4β4sin2α+5cos2β+2cos4α+3sin4β4cos2α+5sin2β 的最小值.

答案    59

解析    设题中代数式为 m,则根据柯西不等式,有m=2sin4α4sin2α+5cos2β+2cos4α4cos2α+5sin2β+3cos4β4sin2α+5cos2β+3sin4β4cos2α+5sin2β等号当\begin{cases} \dfrac{\sqrt 2\sin^2\alpha}{4\sin^2\alpha+5\cos^2\beta}=\dfrac{\sqrt 2\cos^2\alpha}{4\cos^2\beta+5\sin^2\beta},\\ \dfrac{\sqrt 3\cos^2\beta}{4\sin^2\alpha+5\cos^2\beta}=\dfrac{\sqrt 3\sin^2\beta}{4\cos^2\beta+5\sin^2\beta},\end{cases}\iff \alpha+\beta=\dfrac{\pi}2时取得,因此所求最小值为 \dfrac 59

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