每日一题[2417]二次剩余

设 $a,b,c$ 是正整数，$p$ 是素数，$p\geqslant 5$ 且 $p\mid a^{\frac{p-1}2}+b^{\frac{p-1}2}+c^{\frac{p-1}2}$，证明：$p\mid abc$．

解析    用反证法，若 $p\nmid abc$，则 $p\nmid a,b,c$，进而 $p$ 与 $a,b,c$ 都互质．由费马小定理有 $p\mid a^{p-1}-1$，即 $$p\mid \left(a^{\frac {p-1}2}-1\right)\left(a^{\frac{p-1}2}+1\right),$$ 而 $$\left(a^{\frac{p-1}2}-1,a^{\frac{p-1}2}+1\right)=\left(a^{\frac{p-1}2}-1,2\right)\leqslant 2,$$ 故 $a^{\frac{p-1}2}-1$ 和 $a^{\frac{p-1}2}+1$ 中恰有一个数是 $p$ 的倍数，从而 $a^{\frac{p-1}2}\equiv \pm 1\pmod p$，因此 $$a^{\frac{p-1}2}+b^{\frac{p-1}2}+c^{\frac{p-1}2}\in\{-3,-1,1,3\},$$ 而 $p$ 是不小于 $5$ 的质数，与 $p\mid a^{\frac{p-1}2}+b^{\frac{p-1}2}+c^{\frac{p-1}2}$ 矛盾，因此 $p\mid abc$．