在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 的中点，$\angle CAD=15^\circ$，则 $\angle ABC$ 的最大值为（ ）
A．$120^\circ$
B．$105^\circ$
C．$90^\circ$
D．$60^\circ$
答案 B．
解析 如图，$A$ 在优弧 $DC$ 上运动，弧的圆心为 $O$，所对的圆心角为 $30^\circ$，当 $BA$ 与圆 $O$ 相切时 $\angle ABC$ 最大．
设 $BD=DC=1$，则\[BA^2=BD\cdot BC\implies BA=\sqrt 2,\]设 $\angle BAD=\angle DCA=x$，则在 $\triangle ABC$ 中应用正弦定理，有\[\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}=\dfrac{AC}{\sin\angle ABC}\iff \dfrac{2}{\sin(x+15^\circ)}=\dfrac{\sqrt 2}{\sin x}\iff x=30^\circ,\]因此 $\angle ABC$ 的最大值为 $105^\circ$．