每日一题[2401]等张角线

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 的中点，$\angle CAD=15^\circ$，则 $\angle ABC$ 的最大值为（       ）

A．$120^\circ$

B．$105^\circ$

C．$90^\circ$

D．$60^\circ$

答案    B．

解析    如图，$A$ 在优弧 $DC$ 上运动，弧的圆心为 $O$，所对的圆心角为 $30^\circ$，当 $BA$ 与圆 $O$ 相切时 $\angle ABC$ 最大．

设 $BD=DC=1$，则

$$BA^2=BD\cdot BC\implies BA=\sqrt 2,$$ 设 $\angle BAD=\angle DCA=x$，则在 $\triangle ABC$ 中应用正弦定理，有 $$\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}=\dfrac{AC}{\sin\angle ABC}\iff \dfrac{2}{\sin(x+15^\circ)}=\dfrac{\sqrt 2}{\sin x}\iff x=30^\circ,$$ 因此 $\angle ABC$ 的最大值为 $105^\circ$．