每日一题[2400]对称简化

已知 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 是互不相等的正实数，$x_{i_1},x_{i_2},x_{i_3},x_{i_4}$ 是 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 的任意排列，且 $$\begin{split} X&=\max\{\min\{x_{i_1},x_{i_2}\},\min\{x_{i_3},x_{i_4}\}\},\\ Y&=\min\{\max\{x_{i_1},x_{i_2}\},\max\{x_{i_3},x_{i_4}\}\},\end{split}$$ 则 $X>Y$ 的概率为（       ）

A．$\dfrac 12$

B．$\dfrac 13$

C．$\dfrac 14$

D．$\dfrac 16$

答案    B．

解析    考虑到 $x_{i_1},x_{i_2}$ 以及 $x_{i_3},x_{i_4}$ 的对称性，不妨设 $x_{i_1}<x_{i_2}$，$x_{i_3}<x_{i_4}$，以及 $x_{i_1}<x_{i_3}$．不影响问题的本质，设 $$\{x_1,x_2,x_3,x_4\}=\{1,2,3,4\},$$ 则符合假设的排列有 $$\begin{array}{cccc|c|c|c}\hline x_{i_1}&x_{i_2}&x_{i_3}&x_{i_4}&X&Y&X>Y\\ \hline 1&2&3&4&3&2&\checkmark\\ \hline 1&3&2&4&2&3&\times\\ \hline 1&4&2&3&2&3&\times \\ \hline \end{array}$$ 因此所求概率为 $\dfrac 13$．