每日一题[2398]点驱参数弦

已知点 $A$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左顶点，过点 $P(1,0)$ 作直线 $l$ 与椭圆相交于 $M,N$，$AM,AN$ 分别交直线 $x=1$ 于 $B,C$，则（       ）

A．$|PB|+|PC|$ 为定值

B．$|PB|\cdot |PC|$ 为定值

C．$|PB|+|PC|$ 可能等于 $2$

D．$|PB|\cdot |PC|$ 可能等于 $2$

答案    BC．

解析    设 $M,N$ 对应的参数分别为 $2\alpha$ 和 $2\beta$，则根据椭圆的参数弦方程相关结论，有

$$\tan\alpha\cdot \tan\beta=-\dfrac 13,$$ 此时 $$MA:y=\dfrac{\sin2\alpha}{2\cos2\alpha+2}(x+2),$$ 于是 $B\left(1,\dfrac {3\sin2\alpha}{2\cos2\alpha+2}\right)$，即 $B\left(1,\dfrac 32\tan\alpha\right)$，类似的，有 $C\left(1,\dfrac 32\tan\beta\right)$，因此 $$|PB|\cdot |PC|=\left|\dfrac 32\tan\alpha\cdot \dfrac 32\tan\beta\right|=\dfrac 34,$$ 为定值．此时 $$|PB|+|PC|\geqslant 2\sqrt{|PB|\cdot |PC|}=\sqrt 3,$$ 因此 $|PB|+|PC|$ 可能等于 $2$． 综上所述，选项 $\boxed{B}$ 和 $\boxed{C}$ 正确．