每日一题[2397]隐藏性质

已知过 $A(-2,3)$ 作抛物线 $y^2=4x$ 的两条切线，分别交 $y$ 轴于 $B,C$，则 $\triangle ABC$ 的外接圆的方程为（       ）

A．$(x+1)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\dfrac{13}4$

B．$(x+1)^2+(y-1)^2=\dfrac{13}4$

C．$\left(x+\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\dfrac 92$

D．$\left(x+\dfrac 32\right)^2+(y-1)^2=\dfrac{17}4$

答案    C．

解析    因为抛物线上一点 $M(x_0,y_0)$ 处的切线方程为

$$l:y_0y=2(x+x_0),$$ 它与 $y$ 轴的交点坐标为 $M'\left(0,\dfrac {2x_0}{y_0}\right)$，从而有 $$k_l\cdot k_{M'F}=\dfrac 2{y_0}\cdot\dfrac {\dfrac{2x_0}{y_0}-0}{0-1}=-\dfrac {4x_0}{y_0^2}=-1.$$ 所以有 $FB\perp l_1$，$FC\perp l_2$，于是 $AF$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆的直径．

所求外接圆方程为 $x^2+y^2+x-3y-2=0$，也即 $\left(x+\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\dfrac 92$．