已知 a>0，函数 f(x)=ax−xex．
1、求曲线 f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程．
2、证明：f(x) 存在唯一的极值点．
3、若存在 a，使得 f(x)⩽a+b 对任意 x∈R 成立，求实数 b 的取值范围．
解析
1、函数 f(x) 的导函数f′(x)=a−ex(x+1),
于是所求切线方程为 y=f(0)+f′(0)x 即 y=(a−1)x．
2、即 $f'(x)$ 有唯一变号零点，函数 $f'(x)$ 的导函数\[f''(x)=-{\rm e}^x(x+2),\]当 $x\leqslant -1$ 时，$f'(x)\geqslant a>0$，没有零点；当 $x>-1$ 时，函数 $f'(x)$ 单调递增，注意到\[f'(-1)=a>0,\quad f'(a)=a-{\rm e}^a(a+1)<a-(a+1)=-1<0,\]因此函数 $f'(x)$ 在 $(-1,a)$ 上有唯一变号零点，也即 $f(x)$ 存在唯一的极值点．
3、根据题意，有∃a∈R,(∀x∈R,f(x)⩽a+b),
考虑到∀x∈R,f(x)⩽a+b⟺∀x∈R,b⩾a(x−1)−xex,
设 g(x)=a(x−1)−xex，则其导函数g′(x)=a−ex(x+1),
根据第 (2) 小题的结果，g′(x) 有唯一零点 x0，满足a=ex0(x0+1),
其中 x0>−1．因此 g(x) 有最大值g(x0)=a(x0−1)−x0ex0=ex0(x20−x0−1),
命题转化为∃x0>−1,b⩾ex0(x20−x0−1),
设 r(x)=ex(x2−x−1)，则其导函数r′(x)=ex(x+2)(x−1),
于是当 x=1 时，r(x) 取得极小值亦为最小值 r(1)=−e，因此实数 b 的取值范围是 [−e,+∞)．