每日一题[2373]差分

已知 $a_{i} \in \mathbb{N}^{*}$（$i=1,2, \cdots, 9$），对任意的 $k \in \mathbb{N}^{*}(2 \leqslant k \leqslant 8)$，$a_{k}=a_{k-1}+1$ 或 $a_{k}=a_{k+1}-1$ 中有且仅有一个成立，且 $a_{1}=6$，$a_{9}=9$，则 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{9}$ 的最小值为_______．

答案    $31$．

解析    记 $S=a_1+a_2+\cdots+a_9$，$b_k=a_{k+1}-a_k$，则根据题意，$b_{k-1}$ 和 $b_k$ 中有且仅有一个为 $1$，也即 $\{b_n\}$ 中相邻两项中有且仅有一个为 $1$．

情形一    $\{b_n\}$ 中的所有奇数项为 $1$，则有 $$\begin{array}{c|ccccccccc}\hline k&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline a_k&6&7&a_3&a_3+1&a_5&a_5+1&a_7&a_7+1&9\\ \hline\end{array}$$ 于是 $$S=25+2(a_3+a_5+a_7)\geqslant 31,$$ 等号当 $a_3=a_5=a_7=1$ 时取得，此时 $S$ 的最小值为 $31$．

情形二    $\{b_n\}$ 中的所有偶数项为 $1$，则有 $$\begin{array}{c|ccccccccc}\hline k&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline a_k&6&a_2&a_2+1&a_4&a_4+1&a_6&a_6+1&8&9\\ \hline\end{array}$$ 于是 $$S=26+2(a_2+a_4+a_6)\geqslant 32,$$ 等号当 $a_2=a_4=a_6=1$ 时取得，此时 $S$ 的最小值为 $32$．

综上所述，题中代数式 $S$ 的最小值为 $31$，当 $\{a_n\}$ 依次取 $$6,7,1,2,1,2,1,2,9$$ 时取得．