每日一题[2369]极值点偏移

已知函数 $f(x)=x(1-\ln x)$．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、设 $a,b$ 为两个不相等的正数，且 $b\ln a-a\ln b=a-b$，证明：$2<\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}<\mathrm{e}$．

解析

1、因为 $$f'(x)=1-\ln x-x\cdot\frac{1}{x}=-\ln x,$$ 所以 $f'(x)$ 在区间 $(0,1)$ 大于零，在区间 $(1,+\infty)$ 小于零；从而 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 单调递增，在区间 $(1,+\infty)$ 单调递减．

2、根据题意，有 $$b\ln a-a\ln b=a-b\iff \frac{\ln a}{a}-\frac{\ln b}{b}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\iff \frac{1}{a}-\frac{1}{a}\ln\frac{1}{a}=\frac{1}{b}-\frac{1}{b}\ln\frac{1}{b}.$$ 令 $x_1=\dfrac{1}{a}$，$x_2=\dfrac{1}{b}$，且不妨设 $0<x_1<x_2$，则原问题等价于如下问题： [[sol]]新问题[[/sol]] 已知 $0<x_1<x_2$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，证明：$2<x_1+x_2<\mathrm{e}$． 根据第 $(1)$ 小题的讨论，并注意到当 $0<x<\mathrm{e}$ 时，$f(x)>0$；$f(\mathrm{e})=0$；当 $x>\mathrm{e}$ 时，$f(x)<0$，我们可以知道， $$0<x_1<1<x_2<\mathrm{e},$$ 如图．

设 $x_2=tx_1$，则 $t$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$，且 $$x_1-x_1\ln x_1=tx_1-tx_1(\ln t+\ln x_1)\implies \ln x_1=1+\dfrac{t\ln t}{1-t},$$ 进而可得 $$\ln x_2=\ln t+\ln x_1=1+\dfrac{\ln t}{1-t},$$ 从而 $$x_1+x_2={\rm e}^{\ln x_1}+{\rm e}^{x_2}={\rm e}\cdot t^{\frac{t}{1-t}}+{\rm e}\cdot t^{\frac{1}{1-t}}={\rm e}t^{\frac1{1-t}}\left(t^{-1}+1\right)={\rm e}(t+1)t^{\frac{t}{1-t}},$$ 右侧取对数，得到函数 $$g(t)=1+\ln(t+1)+\dfrac{t}{1-t}\ln t,$$ 其导函数 $$g'(t)=\dfrac{\ln t-2\cdot \dfrac{t-1}{t+1}}{(t-1)^2},$$ 根据对数的进阶放缩，可得 $g'(t)>0$，于是 $g(t)$ 单调递增，从而有 $2<x_1+x_2<{\rm e}$，左右两边分别对应 $t\to 1$ 和 $t \to +\infty$ 的情况．

第（2）小题的其他解法：

先证明 $x_1+x_2>2$． 令 $g(x)=f(x)-f(2-x)$，其中 $0<x<1$，则 $$g'(x)=f'(x)+f'(2-x)=-\ln x-\ln (2-x)=-\ln[x(2-x)],$$ 当 $0<x<1$ 时，$0<x(2-x)<1\implies g'(x)>0$，于是 $g(x)$ 在区间 $(0,1)$ 单调递增，因此 $$g(x_1)<g(1)=f(1)-f(1)=0\implies f(x_1)<f(2-x_1)\implies f(x_2)<f(2-x_1).$$ 注意到 $x_2>1$，$2-x_1>1$，而由第$（1）$小题的结果可知，$f(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 单调递减，所以 $$x_2>2-x_1\implies x_1+x_2>2.$$

再证明 $x_1+x_2<\mathrm{e}$． 令 $h(x)=f(x)-f(\mathrm{e}-x)$，其中 $0<x<1$，则 $$h'(x)=f'(x)+f'(\mathrm{e}-x)=-\ln x-\ln (\mathrm{e}-x)=-\ln\big(x(\mathrm{e}-x)\big).$$ 设 $0<x_0<1$，且满足 $x_0(\mathrm{e}-x_0)=1$，则 $h'(x)$ 在区间 $(0,x_0)$ 大于零，在区间 $(x_0,1)$ 小于零；于是 $h(x)$ 在区间 $(0,x_0)$ 单调递增，在区间 $(x_0,1)$ 单调递减．因为 $$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}h(x)=0, h(1)=f(1)-f(\mathrm{e}-1)>0,$$ 所以 $h(x)>0$ 在区间 $(0,1)$ 恒成立，因此 $$h(x_1)>0\implies f(x_1)>f(\mathrm{e}-x_1)\implies f(x_2)>f(\mathrm{e}-x_1).$$ 注意到 $x_2>1$，$\mathrm{e}-x_1>1$，而由第 $(1)$ 题的结论可知，$f(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 单调递减，所以 $$x_2<\mathrm{e}-x_1\implies x_1+x_2<\mathrm{e}.$$ 综上所述，原命题得证．