每日一题[2368]四点共圆

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $F_1\left(-\sqrt{17},0\right)$，$F_2\left(\sqrt{17},0\right)$，点 $M$ 满足 $|MF_1|-|MF_2|=2$．记 $M$ 的轨迹为 $C$．

1、求 $C$ 的方程．

2、设点 $T$ 在直线 $x=\dfrac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $A,B$ 两点和 $P,Q$ 两点，且 $$|TA|\cdot |TB|=|TP|\cdot |TQ|,$$ 求直线 $AB$ 的斜率与直线 $PQ$ 的斜率之和．

解析

1、由题意可知，点 $M$ 的轨迹是双曲线的一支．记该双曲线的半实轴长为 $a$，半短轴长为 $b$，半焦距为 $c$，则 $$a=1,c=\sqrt{17}\implies b^2=c^2-a^2=16,$$ 进而可知 $C$ 的方程是 $x^2-\dfrac{y^2}{16}=1$（$x\geqslant 1$）．

2、设点 $T\left(\dfrac{1}{2},m\right)$，直线 $AB$ 的斜率为 $k_1$，倾斜角为 $\alpha$，其中 $\alpha\ne 0$ 且 $\alpha\ne\dfrac{\pi}{2}$．直线 $AB$ 的方程为 $$y-m=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\left(x-\frac{1}{2}\right).$$ 设 $$\frac{y-m}{\sin\alpha}=\frac{x-\frac{1}{2}}{\cos\alpha}=t,$$ 则 $$\begin{cases} x=\frac{1}{2}+t\cos\alpha,\\ y=m+t\sin\alpha, \end{cases}$$ 其中参数 $t\in\mathbb{R}$．设 $$A\left(\frac{1}{2}+t_1\cos\alpha,m+t_1\sin\alpha\right), B\left(\frac{1}{2}+t_2\cos\alpha,m+t_2\sin\alpha\right),$$ 其中 $t_1,t_2>0$，则 $$|TA|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}+t_1\cos\alpha-\frac{1}{2}\right)^2+\left(m+t_1\sin\alpha-m\right)^2}=t_1,$$ 同理，$|TB|=t_2$． 将直线 $AB$ 的方程代入 $C$ 的方程，得 $$\left(16\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)t^2+(16\cos\alpha-2m\sin\alpha)t-\left(m^2+12\right)=0,$$ 于是 $$|TA|\cdot |TB|=t_1t_2=\frac{m^2+12}{\sin^2\alpha-16\cos^2\alpha}=\frac{m^2+12}{1-17\cos^2\alpha}.$$ 同理，设直线 $PQ$ 的斜率为 $k_1$，倾斜角为 $\beta$，其中 $\beta\ne 0$ 且 $\beta\ne\dfrac{\pi}{2}$， $$P\left(\frac{1}{2}+t_3\cos\beta,m+t_3\sin\beta\right), Q\left(\frac{1}{2}+t_4\cos\beta,m+t_4\sin\beta\right),$$ 则 $$|TP|\cdot |TQ|=\frac{m^2+12}{1-17\cos^2\beta}.$$ 因此， $$|TA|\cdot |TB|=|TP|\cdot |TQ|\implies\cos^2\alpha=\cos^2\beta,$$ 从而 $\alpha=\beta$ 或 $\alpha+\beta=\pi$．由题意可知，$\alpha\ne\beta$，于是 $$\alpha+\beta=\pi\implies k_1+k_2=\tan\alpha+\tan\beta=0.$$ $$\begin{center}\begin{tikzpicture}[scale=.4,x={(0:2cm)}] \lPoint[][0]{0,0}OO[-6] \draw[domain=-80:80,samples=200,cyan]plot({1/cos(\x)},{2*tan(\x)}); \lAxes[]{-2}{6.5}{-12}{12}{}{} \draw[dashed](0.55,9)--(0.55,-9)node[right]{ $x=\frac 12$ }; \lPoint[][1pt]{0.55,0}TT[-2] \draw[domain=-1:5.5,samples=200]plot(\x,{2.2*(\x-0.55)}); \draw[domain=-1:5.5,samples=200]plot(\x,{-2.2*(\x-0.55)}); \lPoint[][1pt]{1.29,1.62}AA[6] \lPoint[][1pt]{5.05,9.9}BB[0] \lPoint[][1pt]{1.29,-1.62}PP[0] \lPoint[][1pt]{5.05,-9.9}QQ[8] \end{tikzpicture}\end{center}$$

备注    已知 $E$ 是对称轴与坐标轴方向平行或垂直的非圆二次曲线，$A,B,C,D$ 是曲线 $E$ 上的四个不同点，直线 $AC$ 与直线 $BD$ 相交且斜率均存在，则 $A,B,C,D$ 四点共圆的充要条件是直线 $AC$ 与直线 $BD$ 的斜率互为相反数．