每日一题[2364]切线条数

若过点 $(a, b)$ 可以作曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的两条切线，则（       ）

A．$\mathrm{e}^{b}<a$

B．$\mathrm{e}^{a}<b$

C．$0<a<\mathrm{e}^{b}$

D．$0<b<\mathrm{e}^{a}$

答案    D．

解析    设过点 $(a,b)$ 的曲线 $y={\rm e}^x$ 的切线，切点横坐标为 $t$，则切线方程为

$$y={\rm e}^t(x-t)+{\rm e}^t,$$ 该切线过 $(a,b)$，因此 $$b={\rm e}^t(a+1-t),$$ 设 $f(t)={\rm e}^t(a+1-t)$，则其导函数 $$f'(t)={\rm e}^t(a-t),$$ 进而有 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline t&-\infty&(-\infty,a)&a&(a,+\infty)&+\infty \\ \hline f(t)&+0&\nearrow&{\rm e}^a&\searrow&-\infty \\ \hline \end{array}$$ 因此当且仅当 $0<b<{\rm e}^a$ 时，上述关于 $t$ 的方程有两个实数解，对应两条切线．

备注    事实上，若定义在 $\mathbb R$ 上的 $f(x)$ 的二阶导函数 $f''(x)$ 恒正（此时 $f(x)$ 为下凸函数），则过点 $(a,b)$ 可以作两条切线等价于

$$\max\left\{\lim_{x\to -\infty}f(x),\lim_{x\to +\infty}f(x)\right\}<b<f(a).$$