若过点 (a,b) 可以作曲线 y=ex 的两条切线,则( )
A.eb<a
B.ea<b
C.0<a<eb
D.0<b<ea
答案 D.
解析 设过点 (a,b) 的曲线 y=ex 的切线,切点横坐标为 t,则切线方程为y=et(x−t)+et,该切线过 (a,b),因此b=et(a+1−t),设 f(t)=et(a+1−t),则其导函数f′(t)=et(a−t),进而有t−∞(−∞,a)a(a,+∞)+∞f(t)+0ea
−∞因此当且仅当 0<b<ea 时,上述关于 t 的方程有两个实数解,对应两条切线.
备注 事实上,若定义在 R 上的 f(x) 的二阶导函数 f″ 恒正(此时 f(x) 为下凸函数),则过点 (a,b) 可以作两条切线等价于\max\left\{\lim_{x\to -\infty}f(x),\lim_{x\to +\infty}f(x)\right\}<b<f(a).