每日一题[2361]读图识图

已知函数 $f(x)=2\cos (\omega x+\varphi)$ 的部分图象如图所示，则满足条件

$$\left(f(x)-f\left(-\frac{7\pi}{4}\right)\right)\left(f(x)-f\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)>0$$ 的最小正整数 $x=$_______．

答案    $2$．

解析    设函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T$，由题意可知，

$$\frac{3}{4}T=\frac{13\pi}{12}-\frac{\pi}{3}\implies T=\pi,$$ 所以 $$\left(f(x)-f\left(-\frac{7\pi}{4}\right)\right)\left(f(x)-f\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)>0\iff \left(f(x)-f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\left(f(x)-f\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)>0,$$ 故 $f(x)>f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ 或 $f(x)<f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$，也即满足条件的点 $(x,f(x))$ 应该位于函数 $f(x)$ 的图象在直线 $y=f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 上方的部分或者 $x$ 轴下方的部分，因此满足条件的最小正整数 $x=2$．