每日一题[2357]简而不单

若关于 $x$ 的不等式组 $2m\leqslant x\leqslant 4m$ 恰有 $3$ 个整数解，则 $m$ 的取值范围是_______．

答案    $\{1\}\cup[1.25,1.5)\cup(1.5,1.75)$．

解析    

法一

闭区间 $[2m,4m]$ 中有 $3$ 个整数，因此区间长度 $$4m-2m\in [2,4)\implies 1\leqslant m<2.$$ 考虑 $2m,4m$ 为整数时的分界点，把 $m\in [1,2)$ 分段讨论 $$\begin{array}{c|cccccccccc}\hline m&1&(1,1.25)&1.25&(1.25,1.5)&1.5&(1.5,1.75)&1.75&(1.75,2)&2\\ \hline 2m&2&&&&3&&&&4\\ \hline 4m&4&&5&&6&&7&&8\\ \hline \text{整点数}&3&2&3&3&4&3&4&4&5\\ \hline \end{array}$$ 因此 $m$ 的取值范围是 $\{1\}\cup[1.25,1.5)\cup(1.5,1.75)$．

法二

注意到满足不等式组的整数解为连续的三个整数，不妨设为 $n,n+1,n+2$，其中 $n\in\mathbb Z$，则有 $$\begin{cases} n-1<2m\leqslant n,\\ n+2\leqslant 4m<n+3,\end{cases}\iff \begin{cases} \dfrac {n-1}2<m\leqslant \dfrac n2,\\ \dfrac{n+2}4\leqslant m<\dfrac{n+3}4,\end{cases}$$ 从而有 $$\begin{cases} \dfrac n2\geqslant \dfrac{n+2}4,\\ \dfrac{n-1}2<\dfrac{n+3}4,\end{cases}\iff 2\leqslant n<5\iff n=2,3,4,$$ 分别令 $n=2,3,4$，可得 $$\begin{cases} 0.5<m\leqslant 1,\\ 1\leqslant m<1.25,\end{cases}\lor \begin{cases} 1<m\leqslant 1.5,\\ 1.25\leqslant m<1.5,\end{cases}\lor \begin{cases} 1.5<m\leqslant 2,\\ 1.5\leqslant m<1.75,\end{cases}$$ 即 $$m=1\lor 1.25\leqslant m<1.5\lor 1.5<m<1.75,$$ 因此 $m$ 的取值范围是 $\{1\}\cup[1.25,1.5)\cup(1.5,1.75)$．