每日一题[2355]分解

设 $B$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|PB|\leqslant 2b$，则 $C$ 的离心率的取值范围是（       ）

A．$\left[\dfrac{\sqrt 2}2,1\right)$

B．$\left[\dfrac 12,1\right)$

C．$\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$

D．$\left(0,\dfrac 12\right]$

答案    C．

解析    根据题意，有 $B(0,b)$，设 $P(x_0,y_0)$，则

$$|PB|\leqslant 2b\iff x_0^2+(y_0-b)^2\leqslant 4b^2,$$ 也即 $$a^2\left(1-\dfrac{y_0^2}{b^2}\right)+(y_0-b)^2\leqslant 4b,$$ 不妨设 $b=1$，则有 $$\forall y_0\in [-1,1],(a^2-1)y_0^2+2y_0-a^2+3\geqslant 0,$$ 也即 $$\forall y_0\in [-1,1],(y_0+1)\left((a^2-1)y_0-a^2+3\right)\geqslant 0,$$ 也即 $$\forall y_0\in (-1,1],(a^2-1)y_0-a^2+3\geqslant 0,$$ 从而可得 $$(a^2-1)(-1)-a^2+3\geqslant 0\iff a\in \left(1,\sqrt 2\right],$$ 因此离心率的取值范围是 $\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$．