古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB,AC.若以 AB,AC 为直径的两个半圆的弧长总长度为 2π,则以斜边 BC 为直径的半圆面积的最小值为_______.
答案 π.
解析 根据题意,有π⋅AB+π⋅AC=2⋅2π⟹AB+AC=4,于是以斜边 BC 为直径的半圆面积S=12⋅π⋅(BC2)2=π8⋅(AB2+BC2)⩾π8⋅(AB+BC)22=π,等号当 AB=AC=2 时取得,因此所求面积的最小值为 π.