每日一题[2331]月牙

古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB,AC.若以 AB,AC 为直径的两个半圆的弧长总长度为 2π,则以斜边 BC 为直径的半圆面积的最小值为_______.

答案    π

解析    根据题意,有πAB+πAC=22πAB+AC=4,于是以斜边 BC 为直径的半圆面积S=12π(BC2)2=π8(AB2+BC2)π8(AB+BC)22=π,等号当 AB=AC=2 时取得,因此所求面积的最小值为 π

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