每日一题[2331]月牙

古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 $ABC$ 的斜边 $BC$，直角边 $AB,AC$．若以 $AB,AC$ 为直径的两个半圆的弧长总长度为 $2\pi$，则以斜边 $BC$ 为直径的半圆面积的最小值为_______．

答案    $\pi$．

解析    根据题意，有

$$\pi\cdot AB+\pi\cdot AC=2\cdot 2\pi\implies AB+AC=4,$$ 于是以斜边 $BC$ 为直径的半圆面积 $$S=\dfrac 12\cdot \pi\cdot \left(\dfrac{BC}2\right)^2=\dfrac{\pi}8\cdot (AB^2+BC^2)\geqslant \dfrac{\pi}8\cdot \dfrac{(AB+BC)^2}{2}=\pi,$$ 等号当 $AB=AC=2$ 时取得，因此所求面积的最小值为 $\pi$．