每日一题[2329]生生不息

已知 ${\rm Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=60^\circ$，$AC=4$，圆 $O_1$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆，作圆 $O_2$ 与圆 $O_1$ 外切，且与 $AC,AB$ 相切，设圆 $O_n$ 的面积为 $S_n$，且 $A_n=S_1+S_2+\cdots+S_n$，则 $\lim\limits_{n\to +\infty}A_n=$_______．

答案    $9\left(2-\sqrt 3\right)\pi$．

解析    如图，设 $O_1,O_2$ 在 $AC$ 上的投影分别为 $H_1,H_2$．

记圆 $O_1,O_2$ 的半径分别为 $r_1,r_2$，则注意到 $\angle CAO_1=\dfrac 12\angle A=30^\circ$，且

$$O_1O_2=r_1+r_2,$$ 于是 $$\triangle AO_1H1\sim\triangle AO_2H_2\implies \dfrac{AO_1}{AO_1-O_1O_2}=\dfrac{O_1H_1}{O_2H_2}\implies \dfrac{2r_1}{2r_1-(r_1+r_2)}=\dfrac{r_1}{r_2}\implies r_2=\dfrac 13r_1,$$ 同理，设圆 $O_n$ 的半径为 $r_n$，则 $$r_{n+1}=\dfrac13r_n\implies r_n=\dfrac 1{3^{n-1}}r_1\implies S_n=\dfrac{1}{9^{n-1}}S_1,$$ 从而 $$\lim\limits_{n\to +\infty}A_n=\dfrac{S_1}{1-\dfrac 19}=\dfrac 98S_1=\dfrac{9\pi r_1^2}8,$$ 而 $$r_1=\dfrac{2\cdot [ABC]}{AB+BC+CA}=\dfrac{16\sqrt 3}{4+4\sqrt 3+8}=2\sqrt 3-2,$$ 因此所求值为 $9\left(2-\sqrt 3\right)\pi$．