每日一题[2326]函数方程

求所有的函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，使得对所有的 $x, y \in \mathbb{R}$ 均有

$$(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y) f(x+y).$$

答案    $f(x)=\dfrac{f(1)-f(-1)}2\cdot x+\dfrac{f(1)+f(-1)}2\cdot x^2$．

解析    根据题意，设

$$a=\dfrac{f(1)-f(-1)}2,\quad b=\dfrac{f(1)+f(-1)}2,$$ 且 $$g(x)=f(x)-ax-bx^2,$$ 则 $g(1)=g(-1)=0$，且 $$\begin{split} (x+y)\big(g(x)-g(y)\big)&=(x+y)\big(f(x)-f(y)\big)-a(x+y)(x-y)-b(x+y)^2(x-y)\\ &=(x-y)\big(f(x+y)-a(x+y)-b(x+y)^2\big)\\ &=(x-y)g(x+y),\end{split}$$ 在上式中分别令 $y=1$ 和 $y=-1$，可得 $$\begin{cases} (x+1)g(x)=(x-1)g(x+1),\\ (x-1)g(x)=(x+1)g(x-1),\end{cases}$$ 在第二个式子中，令 $x\to x+1$，可得 $$xg(x+1)=(x+2)g(x),$$ 因此 $$x(x+1)g(x)=(x-1)\cdot xg(x+1)=(x-1)(x+2)g(x)\implies g(x)=0,$$ 从而 $f(x)=ax+bx^2$，即 $$f(x)=\dfrac{f(1)-f(-1)}2\cdot x+\dfrac{f(1)+f(-1)}2\cdot x^2.$$