平面直角坐标系中有 16 个格点 (i,j)，其中 0⩽i⩽3，0⩽j⩽3．若在这 16 个点中任取 n 个点，这 n 个点中总存在 4 个点，这 4 个点是一个正方形的顶点，求 n 的最小值．
答案 11．
解析 n 的最小值为 11． [[case]]构造[[/case]]存在 10 点，其中任意 4 个点不能构成正方形．如图，
取点 (0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(0,2)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(3,3)，则其中任意 4 个顶点不能构成正方形．
任意 11 点中，一定存在 4 个点构成正方形．下面证明两个引理．
引理一 在 9 个格点 (i,j)（0⩽i⩽2，0⩽j⩽2）中，任取 7 个点，这 7 个点中总存在 4 个点构成正方形．
引理一的证明 如果结论不成立，即存在 7 个点，任意 4 点不为一个正方形的顶点，由于点 (0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2) 构成正方形，故这 4 个点中至少有一点应去掉，不妨去掉 (2,2)，而点 (1,0)，(1,1)，(2,1)，(2,0) 及 (0,1)，(0,2)，(1,2)，(1,1) 分别构成正方形，故 (1,1) 应去掉，而余下的 7 个点中，点 (1,0)，(2,1)，(1,2)，(0,1) 构成正方形，矛盾，因此引理一成立．
引理二 在 12 个格点 (i,j)（0⩽i⩽3，0⩽j⩽2）中，任取 9 个点，这 9 个点中总存在 4 个点构成正方形．
引理二的证明 任取 9 点，即任意去掉 3 点．如果去掉 3 点中至少有一点位于第 1 列，或第 4 列，则由引理一可知结论陈立刚．如果去掉的 3 个点位于同一列（第 2 列，第 3 列），则结论显然成立．再由对称性可知去掉 3 点可看作第 2 列去掉 1 点，第 3 列去掉 2 点，要使第 1,2 列不存在正方形的顶点，则只能去掉点 (1,1)，则余下的点 (1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,2) 构成一个正方形的四个顶点，故引理二得证．
回到本题 如果边列或边行珊共有去掉 2 个点，这由引理二可知结论成立．假设每一边列与边行上最多去掉 1 点，由于点 (0,0)，(3,0)，(3,3)，(0,3) 构成正方形，故这 4 个点中至少去掉一点，由对称性不妨去掉点 (3,3)．又由点 (1,0)，(3,1)，(2,3)，(0,2) 及点 (2,0)，(3,2)，(1,3)，(0,1) 分别构成正方形，因此分别去掉 1 点，且不于点 (3,3) 同行或同列，故只能去掉点 (1,0) 与 (0,1)，或 (2,0) 与 (0,2)．
若去掉点 (1,0) 与 (0,1)，由点 (0,2)，(0,3)，(3,1)，(2,1) 及点 (2,0)，(3,0)，(3,1)，(2,1) 构成正方形，故分别去掉一点，且在内部，所以去掉点 (1,2) 与 (2,1)．此时余下的 11 个点中，点 (1,1)，(2,0)，(3,1)，(2,2) 构成正方形，故结论成立．
类似可以证明去掉点 (2,0) 与 (0,2) 的情形．
综上所述，n 的最小值为 11．