每日一题[2310]PQR与消元

已知 $a,b,c\in\mathbb{R}$，若 $a^2+b^2+c^2=1$，且 $\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=abc$，则下列结论中正确的是（       ）

A．$a+b+c=1$

B．$ab+bc+ca<1$

C．$c$ 的最大值为 $1$

D．$a$ 的最小值为 $-1$

答案    ABC．

解析    由 $\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=abc$，可得

$$ab+bc+ca=a+b+c-1,$$ 即 $$\dfrac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}2=(a+b+c)-1,$$ 解得 $$a+b+c=1,$$ 选项 $\boxed{A}$ 正确．进而 $$ab+bc+ca=0<1,$$ 选项 $\boxed{B}$ 正确．根据均值不等式，有 $$(a+b)^2\leqslant 2(a^2+b^2)\implies (1-c)^2\leqslant 2(1-c^2)\iff -\dfrac 13\leqslant c\leqslant 1,$$ 而当 $(a,b,c)=(0,0,1)$ 时符合题意，因此 $c$ 的最大值为 $1$，选项 $\boxed{C}$ 正确． 类似的，当 $(a,b,c)=\left(-\dfrac 13,\dfrac 23,\dfrac 23\right)$ 时，有 $a=-\dfrac 13$，因此 $a$ 的最小值为 $-\dfrac 13$，选项 $\boxed{D}$ 错误．