每日一题[2310]PQR与消元

已知 $a,b,c\in\mathbb{R}$,若 $a^2+b^2+c^2=1$,且 $\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=abc$,则下列结论中正确的是(       )

A.$a+b+c=1$

B.$ab+bc+ca<1$

C.$c$ 的最大值为 $1$

D.$a$ 的最小值为 $-1$

答案    ABC.

解析    由 $\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=abc$,可得\[ab+bc+ca=a+b+c-1,\]即\[\dfrac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}2=(a+b+c)-1,\]解得\[a+b+c=1,\]选项 $\boxed{A}$ 正确.进而\[ab+bc+ca=0<1,\]选项 $\boxed{B}$ 正确.根据均值不等式,有\[(a+b)^2\leqslant 2(a^2+b^2)\implies (1-c)^2\leqslant 2(1-c^2)\iff -\dfrac 13\leqslant c\leqslant 1,\]而当 $(a,b,c)=(0,0,1)$ 时符合题意,因此 $c$ 的最大值为 $1$,选项 $\boxed{C}$ 正确. 类似的,当 $(a,b,c)=\left(-\dfrac 13,\dfrac 23,\dfrac 23\right)$ 时,有 $a=-\dfrac 13$,因此 $a$ 的最小值为 $-\dfrac 13$,选项 $\boxed{D}$ 错误.

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