每日一题[142]直角三棱锥的性质

在三棱锥$T-ABC$中，$TA,TB,TC$两两垂直，$T$在平面$ABC$上的投影为$D$，$O$为三棱锥$T-ABC$内任意一点，连接$AO$、$BO$、$CO$、$TO$并延长交对面于$A'$、$B'$、$C'$、$T'$，给出下列命题：

①  $TA\perp BC$，$TB\perp AC$，$TC\perp AB$；

②  $\triangle ABC$是锐角三角形；

③  $\dfrac{1}{TD^2}=\dfrac{1}{TA^2}+\dfrac{1}{TB^2}+\dfrac{1}{TC^2}$；

④  $S_{\triangle ABC}^2=\dfrac 13\left(S_{\triangle TAB}^2+S_{\triangle TAC}^2+S_{\triangle TBC}^2\right)$（注：$S_{\triangle ABC}$表示三角形$ABC$的面积）；

⑤  $\dfrac{OA'}{AA'}+\dfrac{OB'}{BB'}+\dfrac{OC'}{CC'}+\dfrac{OT'}{TT'}=1$．

其中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）

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正确答案是①②③⑤．

①  根据题意有$TA\perp TBC$，于是$TA\perp BC$．同理，$TB\perp CA$，$TC \perp AB$，命题正确；

②  设$TA=a$，$TB=b$，$TC=c$，则

$$\begin{split}\cos{A}&=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}\\&=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)-\left(b^2+c^2\right)}{2\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+c^2}}\\&=\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+c^2}}\\&>0,\end{split}$$ 于是角$A$为锐角．同理，角$B$、角$C$也为锐角，命题正确；

③  设三角形$ABC$的面积为$S$，三棱锥$T-ABC$的体积为$V$．由②得

$$\sin A=\dfrac{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+c^2}},$$ 于是 $$\begin{split}S&=\dfrac 12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\\&=\dfrac 12\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2},\end{split}$$ 而 $$V=\dfrac 13\cdot TC\cdot S_{\triangle TAB}=\dfrac 16abc,$$ 于是 $$TD=\dfrac{V}{\dfrac 13S}=\dfrac{abc}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}},$$ 从而 $$\dfrac{1}{TD^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2},$$ 因此命题正确；

④  根据③，有

$$\begin{split}S^2&=\dfrac 14\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\\&=S_{\triangle TAB}^2+S_{\triangle TBC}^2+S_{\triangle TCA}^2,\end{split}$$ 因此命题错误．

⑤  根据空间向量的共面性质，有平面$ABC$上的点$P$满足

$$\overrightarrow{TP}=\lambda\overrightarrow{TA}+\mu\overrightarrow{TB}+\nu\overrightarrow{TC},$$ 其中$\lambda+\mu+\nu=1$．于是若直线$TP$上一点$Q$满足$\overrightarrow{TQ}=x\overrightarrow{TP}$，那么 $$\overrightarrow{TQ}=\lambda'\overrightarrow{TA}+\mu'\overrightarrow{TB}+\nu'\overrightarrow{TC},$$ 其中$\lambda'+\mu'+\nu'=x$．
在本命题中，令$P=T'$，$Q=O$，则 $$x=1-\dfrac{OT'}{TT'}.$$ 而另一方面，有 $$\dfrac{OA'}{AA'}=\lambda',\dfrac{OB'}{BB'}=\mu',\dfrac{OC'}{CC'}=\nu',$$ 如图．因此命题正确．