每日一题[2288]展开与分解

在 $\triangle A B C$ 中，满足 $a \cdot\cos B+b \cdot\cos C+c\cdot \cos A=b \cdot \cos A+c \cdot \cos B+a \cdot \cos C$，判断 $\triangle A B C$ 的形状．

答案    等腰三角形．

解析    根据余弦定理，有

$$\sum_{\rm cyc}\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2c}=\sum_{\rm cyc}\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2c}\iff\sum_{\rm cyc}\dfrac{a^2-b^2}{c}=0,$$ 也即 $$\sum_{\rm cyc}ab(a^2-b^2)=0\iff (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)=0,$$ 因此 $\triangle ABC$ 为等腰三角形．