每日一题[2274]同构函数

若不等式 $mx{\rm e}^{mx^2}\geqslant \ln x$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（       ）

A．$\left[\dfrac{1}{{\rm e}^2},+\infty\right)$

B．$\left[\dfrac{1}{2{\rm e}},+\infty\right)$

C．$\left(\dfrac1{\rm e},+\infty\right)$

D．$\left[\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}},+\infty\right)$

答案    B．

解析    题中不等式即

$$mx^2\cdot {\rm e}^{mx^2}\geqslant \ln x\cdot {\rm e}^{\ln x}.$$ 显然 $m>0$，因此 $mx^2>0$，从而根据 $f(x)=x{\rm e}^x$ 的单调性可得 $$mx^2>\ln x\iff m>\dfrac{\ln x}{x^2},$$ 设 $g(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3},$$ 因此当 $x=\sqrt{\rm e}$ 时，$g(x)$ 取得极大值，也为最大值 $g\left(\sqrt {\rm e}\right)=\dfrac{1}{2{\rm e}}$，从而实数 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{1}{2{\rm e}},+\infty\right)$．