已知三角形 $ABC$ 的三边长 $a,b,c$ 满足 $a\leqslant 2$，$b\leqslant 3$，$c\leqslant 4$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值是（ ）
A．$\dfrac{3\sqrt{15}}4$
B．$3$
C．$4$
D．以上答案都不对
答案 B．
解析 设 $a=x+y$，$b=y+z$，$c=z+x$，其中 $x,y,z>0$，则\[\begin{cases} x+y\leqslant 2,\\ y+z\leqslant 3,\\ z+x\leqslant 4,\end{cases}\implies \begin{cases} x\leqslant 2-y,\\ z\leqslant 3-y,\\ z+x\leqslant 4,\end{cases}\]且 $\triangle ABC$ 的面积\[\begin{split} S&=\sqrt{xyz(x+y+z)}\\ &\leqslant \sqrt{y(2-y)(3-y)(5-y)}\\ &\leqslant 3,\end{split}\]等号当 $y=\dfrac{5-\sqrt{13}}2$ 时可以取得，因此所求最大值为 $3$．