每日一题[2263]调整

已知三角形 $ABC$ 的三边长 $a,b,c$ 满足 $a\leqslant 2$，$b\leqslant 3$，$c\leqslant 4$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值是（       ）

A．$\dfrac{3\sqrt{15}}4$

B．$3$

C．$4$

D．以上答案都不对

答案    B．

解析    设 $a=x+y$，$b=y+z$，$c=z+x$，其中 $x,y,z>0$，则

$$\begin{cases} x+y\leqslant 2,\\ y+z\leqslant 3,\\ z+x\leqslant 4,\end{cases}\implies \begin{cases} x\leqslant 2-y,\\ z\leqslant 3-y,\\ z+x\leqslant 4,\end{cases}$$ 且 $\triangle ABC$ 的面积 $$\begin{split} S&=\sqrt{xyz(x+y+z)}\\ &\leqslant \sqrt{y(2-y)(3-y)(5-y)}\\ &\leqslant 3,\end{split}$$ 等号当 $y=\dfrac{5-\sqrt{13}}2$ 时可以取得，因此所求最大值为 $3$．