每日一题[2262]分离变量

设函数 f(x)=x2+(x1)|xa|+3

① 若函数 f(x)R 上单调递增,则 a 的取值范围是[[nn]];

② 若函数 f(x)2xxR 恒成立,则 a 的取值范围是[[nn]].

答案    ① [13,+);② [3,1]

解析    ① 函数 f(x)f(x)={2x2(a+1)x+a+3,xa,(a+1)xa+3,x<a,根据题意,有 a+1>0aa+14,解得 a 的取值范围是 [13,+)

② 根据题意,有xR,x2+(x1)|xa|+32x,xR,(x1)2+(x1)|(x1)(a1)|+20,也即{|x(a1)|x2x,x>0,|x(a1)|x2x,x<0,第一个不等式显然成立.对于第二个不等式,注意求出 y=x2x 的渐近线为 y=x,斜率为 1 的切线为 y=x+4,如图.

因此 $a-1$ 的取值范围是 $[-4,0]$,从而 $a$ 的取值范围是 $[-3,1]$

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