每日一题[2262]分离变量

设函数 $f(x)=x^2+(x-1)|x-a|+3$．

① 若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是[[nn]]；

② 若函数 $f(x)\geqslant 2x$ 对 $x\in\mathbb R$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是[[nn]]．

答案    ① $\left[\dfrac 13,+\infty\right)$；② $[-3,1]$．

解析    ① 函数 $f(x)$ 即

$$f(x)=\begin{cases} 2x^2-(a+1)x+a+3,&x\geqslant a,\\ (a+1)x-a+3,&x<a,\end{cases}$$ 根据题意，有 $a+1>0$ 且 $a\geqslant \dfrac{a+1}4$，解得 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 13,+\infty\right)$．

② 根据题意，有

$$\forall x\in\mathbb R,x^2+(x-1)|x-a|+3\geqslant 2x,$$ 即 $$\forall x\in\mathbb R,(x-1)^2+(x-1)|(x-1)-(a-1)|+2\geqslant 0,$$ 也即 $$\begin{cases} |x-(a-1)|\geqslant -x-\dfrac 2x,&x>0,\\ |x-(a-1)|\leqslant -x-\dfrac 2x,&x<0,\end{cases}$$ 第一个不等式显然成立．对于第二个不等式，注意求出 $y=-x-\dfrac 2x$ 的渐近线为 $y=-x$，斜率为 $1$ 的切线为 $y=x+4$，如图．

因此 $a-1$ 的取值范围是 $[-4,0]$，从而 $a$ 的取值范围是 $[-3,1]$．