设函数 f(x)=x2+(x−1)|x−a|+3.
① 若函数 f(x) 在 R 上单调递增,则 a 的取值范围是[[nn]];
② 若函数 f(x)⩾2x 对 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是[[nn]].
答案 ① [13,+∞);② [−3,1].
解析 ① 函数 f(x) 即f(x)={2x2−(a+1)x+a+3,x⩾a,(a+1)x−a+3,x<a,根据题意,有 a+1>0 且 a⩾a+14,解得 a 的取值范围是 [13,+∞).
② 根据题意,有∀x∈R,x2+(x−1)|x−a|+3⩾2x,即∀x∈R,(x−1)2+(x−1)|(x−1)−(a−1)|+2⩾0,也即{|x−(a−1)|⩾−x−2x,x>0,|x−(a−1)|⩽−x−2x,x<0,第一个不等式显然成立.对于第二个不等式,注意求出 y=−x−2x 的渐近线为 y=−x,斜率为 1 的切线为 y=x+4,如图.
因此 $a-1$ 的取值范围是 $[-4,0]$,从而 $a$ 的取值范围是 $[-3,1]$.