每日一题[2305]韦达定理

已知实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=9$，$ab+bc+ca=24$，则 $c$ 的取值范围为_______．

答案    $[1,5]$．

解析    根据题意，有 $a+b=9-c$，$ab=24-(a+b)c=24-(9-c)c$，从而根据韦达定理，$a,b$ 是关于 $x$ 的方程

$$x^2-(9-c)^2+24-(9-c)c=0$$ 的两根，因此 $$\Delta=(9-c)^2-4\big(24-(9-c)c\big)\geqslant 0\iff c^2-6c+5\leqslant 0,$$ 解得 $c$ 的取值范围是 $[1,5]$．