每日一题[2302]引入参数

设 $E=\{1,2,3,\cdots,200\}$，$G=\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{100}\}\subsetneq E$，且 $G$ 具有下列两条性质：

① 对任何 $1\leqslant i\leqslant j\leqslant 100$，恒有 $a_i+a_j\ne 201$；

② $\displaystyle\sum_{i=1}^{100}a_i=10080$．

试证：$G$ 中的奇数的个数是 $4$ 的倍数，且 $G$ 中所有数的平方和是一个定数．

解析    根据题意，$E$ 可以分为 $100$ 对和均为 $201$ 的数：

$$(1,200),(3,198),\cdots,(199,2),$$ 因此每对数中恰有一个在集合 $G$ 中，这些数中在集合 $G$ 中的奇数和偶数分别构成集合 $P_1,Q_1$，不在集合中 $G$ 的奇数和偶数分别构成集合 $P_2,Q_2$，且 $$|P_1|=|Q_2|=k,\quad |P_2|=|Q_1|=100-k,$$ 记 $S(X)$ 为集合 $X$ 中的所有元素之和，则 $$\begin{cases} S(P_1)+S(P_2)=10000,\\ S(Q_1)+S(Q_2)=10100,\\ S(P_1)+S(Q_1)=10080,\\ S(P_1)+S(Q_2)=201k,\end{cases}\iff \begin{cases} S(P_1)=-10+\dfrac{201k}2,\\ S(P_2)=10010-\dfrac{201k}2,\\ S(Q_1)=10090-\dfrac{201k}2,\\ S(Q_2)=10+\dfrac{201k}2,\end{cases}$$ 注意到 $S(Q_2)$ 为偶数，因此 $k$ 为 $4$ 的倍数． 接下来计算 $G$ 中的各数的平方和 $$\begin{split} \sum_{x\in G}x^2&=\sum_{x\in P_1}x^2+\sum_{x\in Q_1}x^2\\ &=\sum_{x\in Q}x^2-\sum_{x\in Q_2}x^2+\sum_{x\in P_1}x^2\\ &=\sum_{x\in Q}x^2+\sum_{x\in P_1}\big(x^2-(201-x)^2\big)\\ &=\sum_{x\in Q}x^2+201\sum_{x\in P_1}(2x-201)\\ &=\sum_{x\in Q}x^2+201\big(2S(P_1)-201k\big)\\ &=4\sum_{i=1}^{100}i^2-201\cdot 20\\ &=1349380,\end{split}$$ 为定数，命题得证．