每日一题[2255]焦半径与焦点弦

已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$，原点为 $O,$ 椭圆的动弦 $A B$ 过焦点 $F$ 且不垂直于坐标轴，弦 $A B$ 的中点为 $N$，椭圆 $C$ 在点 $A, B$ 处的两切线的交点为 $M$．

1、求证：$O, M, N$ 三点共线．

2、求 $\dfrac{|A B| \cdot|F M|}{|F N|}$ 的最小值．

解析

1、根据题意，有 $F(2,0)$，设 $M(m,n)$，则

$$AB:\dfrac{mx}5+ny=1,$$ 直线 $OM$ 的斜率与直线 $AB$ 的斜率之积 $$k_{OM}\cdot k_{AB}=\dfrac nm\cdot \left(-\dfrac{m}{5n}\right)=-\dfrac 15,$$ 根据椭圆的垂径定理的逆定理，可得直线 $OM$ 平分弦 $AB$，命题得证．

2、由于直线 $AB$ 过点 $F$，于是 $m=\dfrac 52$，因此直线 $AB$ 的斜率为 $-\dfrac1{2n}$，因此直线 $AB$ 的倾斜角 $\theta$ 满足

$$\tan \theta=-\dfrac1{2n},$$ 根据椭圆的焦点弦长公式，有 $$|AB|=\dfrac{2\sqrt 5}{5-4\cos^2\theta},$$ 根据椭圆的焦半径公式可得 $$|FN|=\dfrac{|FA|-|FB|}2=\dfrac{2|\cos\theta|}{5-4\cos^2\theta},$$ 而 $$|FM|=\sqrt{\dfrac 14+n^2}=\dfrac{1}{2|\sin\theta|},$$ 因此 $$\dfrac{|AB|\cdot |FM|}{|FN|}=\dfrac{\sqrt 5}{|\sin2\theta|}\geqslant \sqrt 5,$$ 等号当 $\theta=\dfrac{\pi}4$ 或 $\theta=-\dfrac{3\pi}4$ 时取得，因此所求最小值为 $\sqrt 5$．