每日一题[2243]焦点三角形

已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$0<b<2$），$F_1,F_2$ 分别为椭圆的左、右焦点，$P$ 为椭圆上一点，$M(2,1)$，$MF_1$ 平分角 $\angle PF_1F_2$，则 $\triangle MPF_1$ 与 $\triangle MPF_2$ 的面积之和为（       ）

A．$1$

B．$\dfrac 32$

C．$2$

D．$3$

答案    C．

解析    根据椭圆的焦点三角形的性质：椭圆的焦点三角形的两个焦点对应的旁切圆与椭圆长轴切于长轴顶点（用切线长定理结合椭圆的定义即得），可得 $M$ 为 $\triangle PF_1F_2$ 的旁心，因此旁切圆半径为 $r=1$，从而

$$[MPF_1]+[MPF_2]=\dfrac 12 (|PF_1|+|PF_2|)\cdot r=ar=2.$$