每日一题[2242]分解与展开

已知复数 $z$ 满足 $z^{111}=1$，$z^1+z^{10}-z^{11}=z^{-1}+z^{-10}-z^{-11}$，则满足条件的 $z$ 有_______个．

答案    $1$．

解析    根据题意，有

$$(z-1)-z^{10}(z-1)=(z^{-1}-1)-z^{-10}(z^{-1}-1),$$ 于是 $$(z-1)(1-z^{10})=(z^{-1}-1)(1-z^{-10}),$$ 因此 $$z^{11}(z-1)(1-z^{10})=(1-z)(z^{10}-1),$$ 从而 $$(1-z)(1-z^{10})(1-z^{11})=0,$$ 注意到 $10,11$ 均与 $111$ 互质，因此满足条件的 $z$ 只有 $1$ 个，为 $z=1$．