每日一题[2231]韦达定理全家福

已知抛物线 $x^2=4y$，点 $A$ 在抛物线上，且在第一象限，以点 $A$ 为切点作抛物线的切线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $B$，过点 $B$ 作垂直于 $l$ 的直线 $l'$ 交抛物线于 $C,D$ 两点，其中点 $C$ 在第一象限，设 $l'$ 与 $y$ 轴交于点 $K$．

1、若点 $A$ 的横坐标为 $2$，求切线 $l$ 的方程．

2、连接 $OC,OD,AK,AC$，记 $\triangle OKD,\triangle OKC,\triangle AKC$ 的面积为 $S_1,S_2,S_3$，求 $\dfrac{S_3}{S_2}\cdot \left(\dfrac{S_1}{S_2}-1\right)$ 的最小值．

解析

1、根据题意，有 $A(2,1)$，根据抛物线的切线方程，可得

$$l:2x=2(y+1),$$ 即 $x-y-1=0$．

2、设 $A(4t,4t^2)$，则 $l:4tx=2(y+4t^2)$ 即 $l:2tx-y-4t^2=0$，进而 $B(2t,0)$，从而 $l':x+2ty-2t=0$．因此 $K(0,1)$．设 $C(4m,4m^2)$，$D(4n,4n^2)$，则

$$\begin{cases} mn=-\dfrac 14,\\ m+n=-\dfrac{1}{2t},\end{cases}$$ 因此设 $\dfrac{S_1}{S_2}=\lambda$，则 $$\lambda+\dfrac{1}{\lambda}-2=-\dfrac{(m+n)^2}{mn}=\dfrac{1}{t^2},$$ 而 $\lambda>1$，解得 $$\lambda=1+\dfrac{1+\sqrt{4t^2+1}}{2t^2},$$ 且 $$\dfrac{S_3}{S_2}=\dfrac{|4t+2t\cdot 4t^2-2t|}{|0+2t\cdot 0-2t|}=4t^2+1,$$ 因此 $$\dfrac{S_3}{S_2}\cdot \left(\dfrac{S_1}{S_2}-1\right)=(4t^2+1)\cdot \dfrac{1+\sqrt{4t^2+1}}{2t^2}=(s+1)^2\cdot \dfrac{2}{s}=2\left(s+\dfrac 1s+2\right)\geqslant 8,$$ 其中 $s=\sqrt{4t^2+1}-1$，等号当 $s=1$ 即 $t=\dfrac 12$ 时取得，因此所求最小值为 $8$．