每日一题[2230]分析通项

已知 $\{a_n\}$ 是公差 $d$ 不等于 $0$ 的等差数列，且 $\{a_{k_n}\}$ 是等比数列，其中 $k_1=3$，$k_2=5$，$k_3=9$．

1、求 $k_1+k_2+\cdots+k_n$ 的值．

2、若 $b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+2}}+\sqrt{\dfrac{a_n}{a_{n+2}}}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：

$$\dfrac{1}{1\cdot 2\sqrt{2b_1}}+\dfrac{1}{2\cdot 3\sqrt{2b_2}}+\cdots+\dfrac{1}{n\cdot (n+1)\sqrt{2b_n}}<\sqrt{\dfrac n{n+1}}.$$

解析

1、根据题意，有

$$a_{k_1}=a_3=a_1+2d,\quad a_{k_2}=a_5=a_1+4d,\quad a_{k_3}=a_9=a_1+8d,$$ 因此 $$(a_1+4d)^2=(a_1+2d)(a_1+8d)\iff a_1d=0\iff a_1=0,$$ 从而 $\{a_{k_n}\}$ 是首项为 $2d$，公比为 $2$ 的等比数列，有 $$a_{k_n}=d\cdot 2^n\iff (k_n-1)d=d\cdot 2^n\iff k_n=2^n+1.$$ 从而 $$k_1+k_2+\cdots+k_n=2^{n+1}+n-2.$$

2、根据题意，有

$$b_n=\dfrac{n}{n+1}+\sqrt{\dfrac{n-1}{n+1}},$$ 因此 $$\sqrt{2b_n}=\sqrt{\dfrac{2n}{n+1}+2\sqrt{\dfrac{n-1}{n+1}}}=1+\sqrt{\dfrac{n-1}{n+1}},$$ 分析通项，只需要证明 $$\dfrac{1}{n(n+1)\cdot \left(1+\sqrt{\dfrac{n-1}{n+1}}\right)}<\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}-\sqrt{\dfrac{n-1}n},$$ 也即 $$\dfrac{1}{\sqrt n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)}<n-\sqrt{n^2-1},$$ 也即 $$\dfrac{1}{\sqrt n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)}<\dfrac{2}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^2},$$ 也即 $$\sqrt n-\sqrt{n-1}>\sqrt{n+1}-\sqrt n,$$ 这显然成立，命题得证．