每日一题[2221]四三二一大法

在三棱台 $ABC-DEF$ 中，$AB\perp AC$，$AB=2DE=2$，$AC=2\sqrt 2$，$CF=2$，且 $CF\perp ABC$，设 $P,Q,R$ 分别为棱 $AC,FC,BC$ 的中点．

1、证明：$BCD\perp PQR$．

2、求二面角 $E-BD-C$ 的正弦值．

解析

1、如图．

由于 $CF\perp ABC$，于是 $ACFD\perp ABC$，又 $AB\perp AC$，于是 $AB\perp ACFD$，而 $PR\parallel AB$，因此 $RP\perp ACFD$，进而 $PR\perp CD$．在平面 $ACFD$ 中可得 $PQ\perp CD$，因此可得 $CD\perp PQR$，从而 $BCD\perp PQR$．

2、建立空间直角坐标系 $P-ARD$，则有

$$\begin{cases} E(0,1,2),\\ B(\sqrt 2,2,0),\\ D(0,0,2),\\ C(-\sqrt 2,0,0),\end{cases}\implies \begin{cases} \overrightarrow{EB}=\left(\sqrt 2,1,-2\right),\\ \overrightarrow{BD}=\left(-\sqrt 2,-2,2\right),\\ \overrightarrow{DC}=\left(-\sqrt 2,0,-2\right),\end{cases}\implies \begin{cases} \overrightarrow n_{EBD}=\left(-2,0,-\sqrt 2\right),\\ \overrightarrow n_{BDC}=\left(4,-4\sqrt 2,-2\sqrt 2\right),\end{cases}$$ 因此所求二面角 $\theta$ 的余弦值 $$\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow n_{EBD}\cdot \overrightarrow n_{BDC}}{\left|\overrightarrow n_{EBD}\right|\cdot \left|\overrightarrow n_{BDC}\right|}=\dfrac{-4}{\sqrt 6\cdot \sqrt{56}}=-\dfrac{1}{\sqrt{21}},$$ 从而所求正弦值为 $\sin\theta=\dfrac{2\sqrt{105}}{21}$．