每日一题[2219]最佳视角

在四面体 $D-ABC$ 中，$AB=BC=CA=CD=2\sqrt 3$，$E$ 为 $BC$ 的中点，$AE\perp DE$，且 $DE=3$，则四面体 $D-ABC$ 的外接球的半径为（       ）

A．$\sqrt 2$

B．$\sqrt 3$

C．$\sqrt 6$

D．$\sqrt 5$

答案    D．

解析    根据题意，$\triangle ABC$ 和 $\triangle DBC$ 均为正三角形，设它们的中心分别为 $O_1,O_2$，则 $O_1,O_2$ 分别是四面体 $ABCD$ 的外接球球心 $O$ 在 $ABC$ 和 $BCD$ 平面上的投影，进而所求半径为

$$|OA|=\sqrt{|AO_1|^2+|OO_1|^2}=\sqrt{\left(\dfrac 23|DE|\right)^2+\left(\dfrac 13|DE|\right)^2}=\sqrt 5.$$