每日一题[2218]对称换元

已知非负实数 $a,b$ 满足 $a+b=\dfrac 32$，则 $a^2b^2+\dfrac 94\left(a^2+b^2\right)$ 的最大值为（       ）

A．$\dfrac{49}{16}$

B．$\dfrac{243}{256}$

C．$\dfrac{81}{16}$

D．$\dfrac{729}{256}$

答案    C．

解析    设 $a-b=2t$，则 $(a,b)=\left(\dfrac 34+t,\dfrac 34-t\right)$，且 $t\in\left[-\dfrac 34,\dfrac 34\right]$．记所求代数式为 $m$，则

$$m=a^2b^2+\dfrac 94\left(a^2+b^2\right)=\left(t^2+\dfrac{27}{16}\right)^2,$$ 因此当 $t^2=\dfrac 9{16}$ 时，$m$ 取得最大值 $\dfrac{81}{16}$．