每日一题[2216]消元化简

设 $a,b,c\in\mathbb R$，一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 两根之差的绝对值为 $10$，则 $ax^2+2bx+3c=0$ 两根之差的绝对值可能等于（       ）

A．$11$

B．$15$

C．$19$

D．前三个选项都不对

答案    C．

解析    设题中两个方程的两根之差的绝对值分别为 $d_1,d_2$，则根据韦达定理，有

$$\begin{cases} d_1=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}=10,\\ d_2=\dfrac{\sqrt{4b^2-12ac}}{|a|},\end{cases}$$ 记 $\dfrac ba=m$，$\dfrac ca=n$，则 $$\begin{cases} m^2-4n=100,\\ d_2=2\sqrt{m^2-3n},\end{cases}\iff \begin{cases} m^2=4n+100\geqslant 0,\\ d_2=2\sqrt{n+100},\end{cases}$$ 进而可得 $n\geqslant -25$，$d_2\geqslant 10\sqrt 3$，只有选项 $\boxed{C}$ 符合题意．