每日一题[2204]擦肩而过

方程 $|\sin\pi x|=\dfrac{2x}{2021}$ 有_______个解．

答案    $2022$．

解析    当 $x<0$ 时，方程无解．接下来考虑 $x\geqslant 0$ 的情形． 考虑到函数 $f(x)=|\sin \pi x|$ 在区间 $[k,k+1)$（$k\in\mathbb N$）上函数值从 $0$ 递增到 $1$ 然后再递减到 $0$，且函数图象上凸．因此在每个形如 $[k,k+1)$（$k\in\mathbb N$）的区间上，如果点 $P_k\left(k+\dfrac 12,1\right)$ 在直线 $l:y=\dfrac{2x}{2021}$ 上方（包括在直线 $l$ 上），则在该区间上函数 $f(x)$ 的图象与直线 $l$ 有 $2$ 个公共点．而当 $k<1010$ 时，$P_k$ 在直线 $l$ 上方；当 $k=1010$ 时，$P_k$ 在直线 $l$ 上；当 $k> 1010$ 时，$P_k$ 在直线 $l$ 下方．因此在区间 $[0,1011)$ 上，题中方程有 $2022$ 个实数解． 考虑当 $x\geqslant 1011$ 时，有

$$\dfrac{2x}{2021}\geqslant \dfrac {2022}{2021}>1>|\sin \pi x|,$$ 于是在区间 $[1011,+\infty)$ 上，题中方程没有实数解． 综上所述，题中方程共有 $2022$ 个实数解．

备注    值得注意的是，如果点 $P_k$ 在直线 $l$ 的下方，并不能确定该区间上函数 $f(x)$ 的图象与直线 $l$ 的公共点个数（可能相交、相切或者相离）．