已知 △ABC 的内切圆 ω 与 BC 切于点 X,设 AX 与圆 ω 交于不同于 X 的点 Y,过 Y 作圆 ω 的切线与 AB,AC 分别交于点 P,Q,且 AP=3,PB=4,AC=8,AQ 的最简分数表示为 mn,则 m+n=_______.
答案 227.
解析 设边 AB,AC 分别与圆 ω 相切于点 Z,W,∠BAX=α,∠AXC=β.
由于 PQ,BC 与 ω 相切,于是∠AYP=∠QYX=∠YXC=β,
而 PZ=PY,在 △APY 中应用正弦定理,有AZAP=1+ZPAP=1+PYAP=1+sinαsinβ,
类似的,在 △ABX 中应用正弦定理,有AZAB=1−BZAB=1−BXAB=1−sinαsinβ.
从而2=AZAP+AZAB=AZ3+AZ7,
解得 AQ=16859,于是所求和为 168+59=227.