每日一题[2200]反平行

已知 ABC 的内切圆 ωBC 切于点 X,设 AX 与圆 ω 交于不同于 X 的点 Y,过 Y 作圆 ω 的切线与 AB,AC 分别交于点 P,Q,且 AP=3PB=4AC=8AQ 的最简分数表示为 mn,则 m+n=_______.

答案    227

解析    设边 AB,AC 分别与圆 ω 相切于点 Z,WBAX=αAXC=β

由于 PQ,BCω 相切,于是AYP=QYX=YXC=β,

PZ=PY,在 APY 中应用正弦定理,有AZAP=1+ZPAP=1+PYAP=1+sinαsinβ,
类似的,在 ABX 中应用正弦定理,有AZAB=1BZAB=1BXAB=1sinαsinβ.
从而2=AZAP+AZAB=AZ3+AZ7,
解得 AQ=16859,于是所求和为 168+59=227

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