已知 $\triangle ABC$ 的内切圆 $\omega$ 与 $BC$ 切于点 $X$，设 $AX$ 与圆 $\omega$ 交于不同于 $X$ 的点 $Y$，过 $Y$ 作圆 $\omega$ 的切线与 $AB,AC$ 分别交于点 $P,Q$，且 $AP=3$，$PB=4$，$AC=8$，$AQ$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$_______．
答案 $227$．
解析 设边 $AB,AC$ 分别与圆 $\omega$ 相切于点 $Z,W$，$\angle BAX=\alpha$，$\angle AXC=\beta$．
由于 $PQ,BC$ 与 $\omega$ 相切，于是\[\angle AYP=\angle QYX=\angle YXC=\beta,\]而 $PZ=PY$，在 $\triangle APY$ 中应用正弦定理，有\[\dfrac{AZ}{AP}=1+\dfrac{ZP}{AP}=1+\dfrac{PY}{AP}=1+\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta},\]类似的，在 $\triangle ABX$ 中应用正弦定理，有\[ \frac{A Z}{A B}=1-\frac{B Z}{A B}=1-\frac{B X}{A B}=1-\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}. \]从而\[ 2=\frac{A Z}{A P}+\frac{A Z}{A B}=\frac{A Z}{3}+\frac{A Z}{7}, \]解得 $AQ=\dfrac{168}{59}$，于是所求和为 $168+59=227$．