每日一题[2196]轮回归宿

已知 $A=\{1,2,3,4,5\}$，$f$ 是从 $A$ 到 $A$ 的映射，则对任意 $A$ 中的元素 $x$，都有 $f(f(x))=f(f(f(x)))$ 的不同映射 $f$ 的个数为_______．

答案    $756$．

解析    满足题意的 $f$ 的原象集 $\{1,2,3,4,5\}$ 可以分为三类：第一类是满足 $f(x)=x$ 的，设有 $i$ 个，组成集合 $A$；第二类是满足 $f(x)\in A$ 且 $x\notin A$ 的，组成集合 $B$；第三类是满足 $f(x)\in B$ 且 $x\notin A\cup B$ 的，组成集合 $C$；如对映射 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&1&2&3&4&5\\ \hline f(x)&1&2&1&2&3\\ \hline\end{array}$$ 对应的 $A=\{1,2\}$，$B=\{3,4\}$，$C=\{5\}$．设 $|A|=i$，$|B|=j$，则所求映射个数为 $$\sum_{i+j \leqslant 5}\dbinom 5i\dbinom{5-i}j i^{j} j^{5-i-j}.$$ 列表可得 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline \dfrac j i &1&2&3&4&5\\ \hline 0&&&&&1\\ \hline 1&20&60&60&20&\\ \hline 2&120&240&90&&\\ \hline 3&60&80&&&\\ \hline 4&5&&&&\\ \hline 5&&&&&\\ \hline \end{array}$$ 因此所求映射个数为 $756$．