每日一题[2190]犬牙交错

在各内角都相等的八边形 $CAROLINE$ 中，$CA=RO=LI=NE=\sqrt 2$，且 $AR=OL=IN=EC=1$．八边形 $CORNELIA$ 围成 $6$ 个没有重叠部分的三角形区域，设这 $6$ 个区域之和的最简分数表示为 $\dfrac ab$，则 $a+b=$_______．

答案    $23$．

解析    八边形 $CAROLINE$ 的内角均为 $135^\circ$．直线 $AR,OL,IN,EC$ 围成一个正方形，且 $CO\parallel AR\parallel NI\parallel EL$ 且 $AN\parallel CE\parallel OL\parallel RI$，如图．

注意到 $CARO$ 是底为 $1,3$ 且高为 $1$ 的等腰梯形，$ARIN$ 是一个 $1\times 3$ 的矩形．设 $CO$ 与 $AN,AI,RN$ 分别交于点 $X,Y,Z$，$AI$ 与 $RN$ 交于点 $W$．因此 $CX=AX=1$．因为 $\triangle AYX\sim \triangle AIN$，于是 $$\dfrac{XY}{AX}=\dfrac{NI}{AN}=\dfrac 12,$$ 因此 $XY=\dfrac 13$ 且 $CY=\dfrac 43$，于是 $[CAY]=\dfrac 23$．根据对称性，有 $OZ=CY=\dfrac 43$，因此 $$YZ=CO-CY-OZ=3-\dfrac 83=\dfrac 13.$$ 而 $W$ 到 $YZ$ 的距离为 $\dfrac 12$，所以 $$[YZW]=\dfrac 12\cdot \dfrac 13\cdot\dfrac 12=\dfrac{1}{12},$$ 根据对称性可得 $$[CORNELIA]=4[CAY]+2[YZW]=\dfrac 83+\dfrac 16=\dfrac{17}6,$$ 因此 $a+b=17+6=23$．