每日一题[2183]左右开弓

在三棱锥 $P-ABC$ 中，底面 $ABC$ 是以 $AC$ 为斜边的等腰直角三角形，且 $AB=2$，$PA=PC=\sqrt 5$，$PB$ 与底面 $ABC$ 所成的角的余弦值为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$，则三棱锥 $P-ABC$ 的外接球的半径为_______．

答案    $\dfrac 32$ 或 $\dfrac{\sqrt{89}}2$．

解析    设 $AC$ 的中点为 $M$，三棱锥 $P-ABC$ 的外接球球心为 $O$，则 $O$ 在平面 $ABC$ 过点 $M$ 的垂线上，分析平面 $PAM$ 即可，如图．

以 $M$ 为坐标原点，$\overrightarrow{AM}$ 方向为 $x$ 轴正方向建立平面直角坐标系．则 $A\left(-\sqrt 2,0\right)$，$PM=\sqrt 3$，直线 $AP:x=\pm 2\sqrt 2y-\sqrt 2$，与圆 $x^2+y^2=3$ 联立可得（不妨设 $y>0$）

$$9y^2\mp 8y-1=0\iff y=1\lor y=\dfrac 19,$$ 于是 $$P_1\left(\sqrt 2,1\right),\quad P_2\left(-\dfrac{11\sqrt 2}9,\dfrac 19\right),$$ 从而 $PA$ 的中点坐标对应为 $$N_1\left(0,\dfrac 12\right),\quad N_2\left(-\dfrac{10\sqrt 2}9,\dfrac 1{18}\right),$$ 于是 $$PN_1:y=-2\sqrt 2x+\dfrac 12,\quad PN_2:y=2\sqrt 2\left(x+\dfrac{10\sqrt 2}9\right)+\dfrac{1}{18},$$ 进而 $$O_1\left(0,\dfrac 12\right),\quad O_2\left(0,\dfrac{9}{2}\right),$$ 因此外接球半径的为 $$r_1=\dfrac 32,\quad r_2=\dfrac{\sqrt{89}}2.$$